近日，福建省等离子体与磁共振重点实验室屈小波教授在深度学习顶级期刊《IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems》上发表论文“Exponential Signal Reconstruction With Deep Hankel Matrix Factorization”。
指数函数是一种信号的基础形式，在雷达通信、荧光显微镜成像、电子系统的模数转换和磁共振波谱中都有着重要应用。因此如何快速获取指数信号成为了信号处理领域的前沿方向和热点问题。由于信号分辨率和维度的增加导致过长的采集时间，非均匀采样技术被提出用于加速采样速度。但该技术会使信号引入伪影，因此如何从该技术重建可靠的信号仍是当前急需解决的重要问题。
基于低秩Hankel矩阵的最优化算法是一类最新的指数函数重建方法。这类方法通过约束由指数时域信号构成的Hankel矩阵的低秩性进行重建，显示出卓越的重建结果。但该方法需要进行耗时的奇异值分解操作，而其加速算法对带噪指数信号的重建效果并不理想。
深度学习是近年的研究热点，其重建速度快但不可解释性制约了该方法的发展。我们提出了一种基于Hankel矩阵分解的深度学习指数信号重建方法DHMF，将基于最优化的Hankel矩阵分解算法的迭代步骤展开为深度学习网络，对网络的可学习参数进行训练。通过隐式的低秩约束来实现对指数信号的可靠重建，并提升了网络的可解释性。在100次的仿真加噪指数信号的25%欠采样重建实验中，相比与其他前沿方法，所提方法DHMF能在保持深度学习快速重建的优势下，不仅提供了整体重建误差更低的信号，并且重建的低强度谱峰和全采样无噪信号的相应谱峰具有最高的相关性和更相近的峰形。
图1. DHMF网络结构。(a)第k个迭代块结构, (b)时域卷积模块, (c)频域卷积模块, (d)密集连接卷积神经网络。
磁共振波谱在现代化学、生物和医学等领域具有极其重要的作用，例如可提供分子结构的原子水平的信息，是分析分子动力学不可缺少的工具。但随着数据维度和分辨率的增加，采样时间从数分钟急剧增加至数天，制约了该技术的发展。磁共振波谱信号可以建模为数个指数信号的叠加，因此也可以采用指数信号欠采样重建的方案加速磁共振波谱信号的获取。
与前沿的重建算法相比，所提方法对带噪的磁共振波谱的重建误差最低，与全采样波谱的谱峰相关性超过了0.99，并且对带噪信号的低强度谱峰进行高质量重建。这说明，在相同的采样数据量和重建时间下，所提方法可以对信噪比更低且谱峰信号更弱的磁共振波谱进行可靠重建。
图2. 泛素2D 1H-15N TROSY谱在采样率25%下的重建效果。(a)全采样的磁共振波谱，(b)到(f)分别是全采样谱、LRHM、LRHMF、DLNMR和所提方法DHMF的重建谱图的局部放大。(g)和(h)为箭头所指，在一维 15N 上的谱峰局部放大。
该项工作由厦门大学电子科学系屈小波教授及其领导的计算感知实验室成员黄奕晖、赵金奎、王孜，以及瑞典哥德堡大学Vladislav Orekhov教授、厦门理工学院郭迪教授(预聘)合作完成。厦门大学电子科学系的屈小波教授担任通讯作者。
这项工作得到了国家自然科学基金(62122064、61971361、61871341、61811530021)，国家重点研发计划重点专项(2017YFC0108703)，福建省自然科学基金(2021J011184)和厦门大学南强拔尖人才计划的资助。
屈小波教授是国家优青，其领导的计算感知实验室主要从事人工智能、最优化、医学重建与分析和云计算等研究方向。这项工作是一系列指数函数重建工作中的一部分，相关的重要工作还有发表于国际顶级期刊《Angewandte Chemie-International Edition》(SCI, JCR 1, TOP Journal, IF 15.34)的论文“Accelerated Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy with Deep Learning”。该工作已经被国内高端磁共振波谱公司武汉中科牛津波谱公司产业化。